KARNAUGH HARİTASI İLE BASİTLEŞTİRME

Merhaba arkadaşlar bugün sizlere boole işlemlerinin sadeleştirilmesinde ,dijital devre tasarımlarında, dijital devrelerde en az kapı kullanılarak devrenin maliyetinin düşürülmesinde ve FPGA donanımsal tasarımlarında  kullanılan karnaugh  haritalarını inceleyeceğiz.

< TEORİK BİLGİLER >

Doğruluk Tablosu Nedir ? 

Mantıkta, özellikle Boole cebiri ve Boole fonksiyonları ile ilişkili olarak, fonksiyon değişkenlerinin bütün kombinasyonları için mantıksal ifadenin değerini hesaplamakta kullanılan bir matematiksel tablo.

Minterm ve Maksterm Nedir ?

• Minterm : Standart çarpımlar toplamı şeklinde ifade edilmiş bir lojik ifade deki her
  terim minterm ismiyle anılır. Üç değişken içeren bir lojik ifade, 8 adet minterm (2^3)içerir. Bu mintermler, girişlerin sadece belli bir kombinasyonunda 1 değerini alırlar. Mintermler indis ile ifade edilirler. İndis, mintermin değerini 1 yapan değişken kombinasyonunun decimal değeridir.

• Maksterm :Standart toplamlar çarpımı şeklinde ifade edilmiş bir lojik ifadedeki her terim maxterm ismiyle anılır.  Üç değişkene sahip bir lojik ifade 8 adet maxterm (2^3) içerir. Bu maxtermler girişlerin sadece belli bir kombinasyonunda 0 değerini alır. Maxtermler indis ile ifade edilirler.  İndis, maxtermin değerini 0 yapan değişken kombinasyonunun decimal değeridir. Ayrıca maxtermler, mintermlerin değili olarak da düşünülebilir.

Değişken Yapısına Göre Karnaugh Haritaları Nelerdir ?

n=giriş değişkeni sayısı olmak üzere 2n formülüyle kutu sayısı belirlenir. 2,4,8,16… olmak üzere 2ye katlanarak devam eder.

• 2 değişkenli karnaugh haritası : Bu kutu tipi dijital devrede iki tane giriş olduğu zaman kullanılır. Ayrıca karnaugh haritası 2^2 =4 adet kutucuğa sahiptir.

• 3 değişkenli karnaugh haritası : Bu kutu tipi dijital devrede üç tane giriş olduğu zaman kullanılır. Ayrıca karnaugh haritası 2^3 =8 adet kutucuğa sahiptir.

• 4 değişkenli karnaugh haritası : Bu kutu tipi dijital devrede dört tane giriş olduğu zaman kullanılır. Ayrıca karnaugh haritası 2^4 =16 adet kutucuğa sahiptir.

Karnaugh Haritalarına Ait Kanunları Nedir ?

1. Karnaugh Haritaları giriş değişkeni sayısına bağlı olarak standart sayıda kutudan oluşur.
2. n=giriş değişkeni sayısı olmak üzere 2n formülüyle kutu sayısı belirlenir. 2,4,8,16… olmak üzere 2‟ye katlanarak devam eder.
3.  Karnaugh Haritalarında hedef ençok “1” i gruplamaktır. Kutuların içindeki “1” ler dikkate alınır. Boş olan kutu “0” demektir, dikkate alınmaz.
4. Gruplamalardaki kutu sayısı 1,2,4,8,16…. şeklinde olmalıdır.
5. Her bir grup çıkış ifadesinde giriş değişkenleri çarpım (AND) şeklinde ifade edilir.
6. Birden fazla gruba sahip Karnaugh Haritasının çıkış ifadesinde gruplar toplama (OR) işlemine tabi tutulur.
7. Karnaugh Haritasında tüm kutular “1” ise çıkış “1” , tüm kutular “0” ise çıkış “0” dır.

< ÖRNEK >

Örnek-1  : 

Soru : Üç anahtarlı girişin söz konusu olduğu dijital bir devrede anahtarlardan ikisinin ya da üçünün ‘1’ konumunda olması durumunda ledin (alıcının) çalışası istenmektedir.

1.  Yapılmak istenilen işlemin doğruluk çizelgesini hazırlayınız.
2.  Yapılmak istenilen işlemin minterm ve maksterm indislerini belirleyiniz.
3.  Doğruluk çizelgesine göre lojik denklemi yazınız.
4.  Lojik denklemin kapılı devresini çiziniz.
5.  Lojik denklemi üç değişkenli karno haritası kullanarak sadeleştiriniz.
6.  Karno haritasından elde edilen denklemin lojik kapılı devresini çiziniz.
   

Çözüm :

1. Madde : Yapılmak istenilen işlemin doğruluk çizelgesi soruda verilen istere göre hazırlanmıştır. Doğruluk tablosunda A, B, C girişleri temsil ederken , F çıkışı temsil etmektedir. Bu bilgiler doğrultusunda doğruluk çizelgesi ;

2. Madde : Yapılmak istenilen işlemin doğruluk çizelgesi temel alınarak isterin minterm ve makstermlerini yazacak olursak;

• Mintermler  :  m3,m5,m6,m7 ( 1’lere bakılarak yazılmıştır)
• Makstermler: M0,M1,M2,M4 ( 0’lara bakılarak yazılmıştır)

3. Madde : Yapılmak istenilen işlemin doğruluk çizelgesi temel alınarak lojik denklem ister mintermler cinsinden isterde sinyal girişleri bakımından yazılabilir.Bu bilgiler ışığında ;

• F= m3+m5+m6+m7 (mintermler cinsinden)
• F(A,B,C)=A’BC + AB’C + ABC ‘+ ABC ( Giriş sinyalleri cinsinden )

4. Madde : Yapılmak istenilen işlemin doğruluk çizelgesi temel alınarak lojik denklem ister mintermler cinsinden ister ise sinyal girişleri bakımından yazıldıktan sonra devrenin kapalı devresi çizilecek olursa ;

5. Madde : Şekil 3’de yapılmak istenilen işlemin doğruluk çizelgesi temel alınarak lojik devrenin karno haritası oluşturulmuş olup gruplandırma 3 bölümde yapılmıştır.

• F1 Grubu için:  F1 grubunda 2 kutu var. Bu iki kutuda  A = 0 ve A= 1 değeri aldığından  A girişi  eleniyor. F1  gurubunda B hep 1 değeri alıyor, C hep 1 değeri aldığından  F1=B.C yazılabilir.
• F2 Grubu için:  F2 grubunda 2 kutu var. Bu iki kutuda  C = 0 ve C= 1 değeri aldığından  C girişi  eleniyor. F2  gurubunda A hep 1 değeri alıyor, B hep 1 değeri aldığından  F2=A.B yazılabilir.
• F3 Grubu için:  F3 grubunda 2 kutu var. Bu iki kutuda  B = 0 ve B= 1 değeri aldığından B girişi  eleniyor. F3  gurubunda A hep 1 değeri alıyor, C hep 1 değeri aldığından  F3=A.C yazılabilir.

inceleme sonucunda F=F1+F2+F3 Elde edilir. Grup değerleri yerine eşitlikleri yerlerine konulursa çıkış, F(A,B,C)= A.B + B.C +A.C olur.

6. Madde : Şekil 3’de yapılmak istenilen işlemin doğruluk çizelgesi temel alınarak lojik devrenin karno haritası ile sadeleştirilmiş biçiminin lojik devresi çizilecek olursa;

Sonuç :  Verilen örnekte görüldüğü gibi 10 adet lojik kapı ile kurulabilen devre karno haritası yöntemiyle sadeleştirilince 5 lojik kapı ile kurulabildiği görülmüştür.

Sitemizde paylaştığımız veya sitemizde paylaşım yapılması istediğiniz konular hakkında sizlere hızlı cevap verilmesi ve canlı sohbet desteği için facebook sayfamızdan( https://www.facebook.com/electrolog.blog/) bizler ile iletişime geçebilirsiniz arkadaşlar.Bilgi paylaşıldıkça güzeldir…